Монастыри есть. Их немного и они маленькие. Чтобы по-больше побыть около Кайласа вам придется заранее об этом позаботиться и сделать соответсвующие пермиты. Дело в том, что в пермитах явно указано где конкретно в Тибете вы находитесь в каждый промежуток времени плюс-минус день-два.
Пара-тройка монастырей есть по маршруту коры и два ближе к южной стене Кайласа. Последние находятся выше 5000 метров и думаю, что ночевать там - не самая лучшая идея, разве что хотя бы уже после пройденной коры и более хорошей акклиматизации. По всей видимости постоянно там монахи не живут. В любом случае условия там совсем не курортные. На счет того, захотят ли вас там принять - ничего сказать не могу. Людям там живется нелегко и надо быть уверенным, что заботиться о пропитании и тепле вы сможете сами.